更新时间:2017-07-28

博弈论:第四课：点球博弈、合伙人博弈与纳什均衡

一、点球博弈
图中，l和r分别表示守门员的选择，向左（left）和向右（right），同理，L、M和R分别代表罚球运动员能够选择的策略，左/中/右。
数字表示能够罚进的概率，负表示罚失败的概率。
为了最大化进球，即 Max Eu1(si,s-i)

作出上一节我们讲到的求最佳策略（Best Response）图像

横坐标P（r）表示守门员扑向右侧的概率从0~100%的连续变化，纵坐标表示Eui(si,s-i)
奇怪的是：当我们引入这个图像时，原本并不存在劣势策略的选择中路，变成了劣势策略——因为随着P（r）的变化，选择收益最大要么是向右，要么向左（分界是P（r）=1|2）
所以这个模型的优势策略便是，当你认为守门远向右扑的概率低于50%时，向右踢；当你认为守门员向右扑的概率高于50%，向左踢（为什么我感觉这个结论很废话.....）

探讨这个模型的不足：
（1）这个模型没有考虑守门员居中不动的状况，那么加入后会有什么变化呢？（想知道吗？不好意思，课后作业...）
（2）没有考虑左右脚球球员，他们踢向左向右时命中率不一样
（3）没有考虑球速与精度，比如某些球员喜欢大力出奇迹，往往会选择中路，因为他们精度不怎么样。但这与我们的Best Response相反，我们认为中路是始终的劣势。但是加入精度和球速的考虑后，因为中路的进球效率始终恒定（在图中是6），但是对于那些精度不怎么样的球员，也许他们踢中路的命中率远高于踢边路，事实上会让他们提高自己的命中率，比如提高到8。
如果我们在原图中插入一条为8的线段，Best Resonse 就会发生很重要的变化

二、合伙人博弈（Partnership Game）：
给定假设：
（1）. 你们均分利润
（2）. 你们的收益由你们投入的精力决定，这里精力即为投入的时间t ，我们用0~4来标记你们选用的时间，即Si∈[0,4]
（3）你们的利润的表达公式为： 4 [ s1+s2+bs1s2 ] ，其中，0≤ b ≤ 1/4

所以，我们能够得出两者的收益（Payoffs）分别为：
u1(s1,s2) = 1/2 [ 4 ( s1+s2+bs1s2 ) ] - s1 s1
u2(s2,s1) = 1/2 [ 4 ( s2+s1+bs2s1 ) ] - s2 s2

我们怎样算出收益人的Best Reponse呢？
对他们的收益求s1的导数，（这里用到的是微积分的知识，微积分！天知道他说这个时候我说多么一脸蒙蔽，早忘了....）
u1(s1,s2) = 1/2 [ 4 ( s1+s2+bs1s2 ) ] - s1 s1
对它进行求导可得：
一级导数 foc : 2（1+ b s2）-2s1
二级导数 soc: -2
求二级导数，是为了确认：最大值处的2级导数是负数。（好像有点印象....柯西、拉客朗日神马的....）
则，另 2（1+ b s2）-2s1 = 0 使得 u1(s1,s2) 达到最大，、
有 Best Reponse
s1' = BR1（s2）= 1 + bs2

同理，可得
s2' = BR2（s1）= 1 + bs1

再然后，因为0≤ b ≤ 1/4，我们给出 b = 1/4 时两者的图像：

关于这个相交的点，我们称为纳什均衡（ Nash equilibrium ）

注1：
最近又看到笔记，看到这个博弈，我很不理解为什么b的取值范围是（0，1/4）
很明显，由 s1' = 1 + bs2 和 s2' = 1 + bs1
可以得到，b = 1 - 1/s1
对于 Si 的取值范围是（0 ~ 4）
那么相应的 b 的取值应该是（0，3/4）
为什么限定 b = 1/4 呢？是先天给定的条件吗？
因为是镜像的收益，所以均衡点是关于45度线对称的，可以算出当 b 取（0，1/4）时它的均衡是在图中点（1，1）到（4/3，4/3）的线段，可以预估，如果 b 可以取到大于1/4时，它应该还有向上的部分。为什么没有这一段呢？