更新时间:2017-08-06

博弈论:第七课：价格博弈和参选博弈

一、价格博弈：伯川德竞争（Bertrand Competition）：
假设：
（1）两个生产同样产品的厂商在规定价格 P 时，任市场去调节他们的产量Q
（2）对于两个不同厂商，他们的定价分别为 p1 和 p2 ，并且有所有定价 0＜ P ＜1
（3）为了简化讨论，我们假设总需求 Q（P）= 1 - P' ，这里 P‘ 为厂商定价中小的那个，则对于公司1有如下状况
当 p1 < p2 ，则 q1 = 1 - p1
当 p1 > p2，则 q1 = 0
当p1 = p2，则 q1= q2 = （1 - p1）/2
（4）所以它的收益为： q1p1 - q1 C，这里 C 为边成本

那么在这样的价格博弈中，对于厂商1而言，它的 Best Response ：
1. 如果对手的定价 p2< C，则你定价 p2 > p1
当对手这样定价，意味这赔钱。这样你最好的决策就是退出市场，此时你只需定价比对面高就使得 q1 = 0
2.如果对手定价 p2 = C ，则我们定价 p1 ≥ C
继续参与竞争，还是退出市场都可以，反正无利可图
3. 如果对手定价 C < p2 ≤ p（垄断）时，则你定价 p1 = p2 - ε
这里面 ε 代表一个非常小的值，意思就是你比对面的价值少一点点就好；
这里的p（垄断）是指，当市场只有你一个厂商时，我们的取得最佳产量时，市场的定价。因为事实上我们发现，如果比对手定价低一点，我们就变成了垄断，这对下面一部推导有用。
4. 如果对手定价 p（垄断）< p2 ，则我们只需定价 p1 = p（垄断）
就像上面谈的，当对手定价高于 p(垄断），我们比对手定价低就会抢占所有市场，这时，我们当然从最佳产量的角度考虑，定价 p（垄断）

那么这个博弈的纳什均衡是什么？
NE = （p1 =C，p2 = C）

这个博弈带来了很有意思的思考，与古诺寡头市场博弈相比，它只是表示在两个厂商在价格方面竞争，却得到与古诺市场博弈的结果完全不同。
因为它的结局是，仅仅两个厂商的竞争，就使得利润降到和充分竞争市场完全等同的状况。
这在现实生活中当然不可能，那么我们审视这个博弈与现实中哪里不同时，教授认为，伯川德竞争隐含条件，认为厂商之间的商品是可以完全替代的，这条假设不符合现实状况。
比如，可口可乐和脉动饮料，我们并不会觉得可口可乐比脉动便宜一点，就都去喝可口可乐，因为有的人并不喜欢可口可乐的口感，他们更喜欢脉动的。这种商品的不同质，导致我们对于产品的选择并不会完全依赖于价格....
换而言之，伯川德竞争认为价格完全主宰了用户的需求的假设，是错误的。

所以在这里提出另一个模型，线性城市模型（ Linear City Model），也就是下面我们第二个要谈的。
注：
我觉得伯川德竞争很有意思的结论，在那些几乎同质的产品中，实行价格竞争会使得利润降的很低。有没有非常同质的产品呢？在实体经济中也许很难找到，但在互联网中经济中却可能存在，比如微软的操作系统和其他操作系统在开始时就非常同质（尽管现在很不同质了），在比如，在滴滴打车软件盛行时，腾讯和阿里关于打车软件的竞争，也是同质的。
比较有趣的是，这些产品都是出现在某个蓝海领域的初期阶段，而在之后，就会产生产品差异。
同时它可能还有另一部分暗示，价格战，对于厂商而言，是两败俱伤的战役。
二、线性城市模型（ Linear City Model）：
假设：
（1）在一条长度为1个单位的线段上，分别有两个公司，1和2，他们分别处于两端，即
0处和1处
（2）我们每个人都是处于线段上的一点，每个人都可以去A和B公司购买商品，但是成本不同。假设每个人都是为了追求成本最小而选择购买1还是2公司的产品，我们每个人的成本计算符合下面公式，假设我们处于 y 点，则有我们的成本
P + T. T
这里，P是购买1还是2公司的定价，T则是我们y点距离1和2公司的距离，因此，我们如果要去1公司购买商品就有成本
p1+Ty .Ty
而去2公司购买，就有成本
p2 +T(1-y). T(1-y）
（3）假设公司的边际成本为C，每个公司为了追求利润最大化

那么这个博弈的NE是什么？

因为这时家庭作业，我自己写自己的答案。首先，我们能够确定，在任意一点上我们选择1公司而不是2公司的原因是因为
p1+Ty .Ty 小于或等于T(1-y).T(1-y) + p2
假设其中有一点y，使得选择两边都成立，则这时有
p1+Ty .Ty = T(1-y).T(1-y) + p2
这里面就算出了y点关于p1,p2的函数

而这时候，1公司的利润为：
p1( y -c)
将其中的 y 替换为 p1，p2的函数，然后求导
就得到了p1关于p2的最佳策略

同理，可得出另一条p2关于p1的最佳策略
将两条曲线画出来，就得到了纳什均衡

这个模型比较有代表意义在于，这里面的0~1的线段，可以被我们解释为一种连续的偏好，老师举的例子是酒精浓度分别从低到高，而我们对于1.2的选择，可以解释为对不同酒品牌的选择。那么这个模型对一些产品差异化的商品的定价就很有借鉴价值。
它还可能产生另外的例子，比如在举办两个活动时所设置的门槛，不一定非要将之解释为价格。

三、参选博弈：
假设：
（1）每个人的政治立场确定而不可改变，每个人能够参选成为候选人
（2）选民们会投票给离自己政治观点最近的人，被投票最多的人获胜，如果最高票同票，则采用投硬币或由最高法院来裁决（注：我觉得这是说的布什与戈尔竞争总统时的情形）
（3）如果获胜，则获得奖品B，同样参选要付出成本C，并且B ≥ 2C。
（4）无论你是否参与选举，你都将付出额外的成本。如果你的政治倾向在X点，那么Y点的人当选，你需要付出成本 - I x - y I

所以，我们事实上可以得到几种结果：
1. 如果X先生参选，并且获胜，那么他的收益是： B - C
2.如果X先生参选，但Y先生获胜，那么他的收益就是： - C - I x - y I
3.如果X先生未参选，Y先生获胜，那么他的收益就是： - I x - y I

那么这个博弈的NE是什么？

在课堂中做的实验起码证明了以下的结论：
Ⅰ.当每个对应政治立场只有一个人时，且只有两个人参选，那么就是我们第三讲中原来讲过的中间选民定理（middle voter theorem），离中间越近的那个人肯定胜出。
因此，在只有两个人参选时，NE即为，最中间的那个人一定参选，而其他人都默认不参选。
Ⅱ.
Ⅲ.
Ⅳ.

因为这个博弈并没有讲完，所以其他均衡尚未言明。
而最后老师提问最左派和最右派参选，那么这是一个均衡吗？我觉得不是，因为最中间派的那个人站起来，他将获胜。所以对最中间的那个人而言，这不是他的最优选择。因此这不是NE。